LSZ 축약 공식
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
1. 개요
LSZ 축약 공식은 해리 레만, 쿠르트 쥐만치크, 볼프하르트 치머만이 1955년에 도입한 양자장론의 중요한 공식이다. 이 공식은 산란 행렬의 원소, 즉 입자들의 상호작용과 관련된 확률 진폭을 계산하는 데 사용된다. LSZ 축약 공식은 입사 및 출사 입자의 상태를 나타내는 'in' 및 'out' 장을 도입하고, 이를 통해 산란 진폭을 상관 함수의 푸리에 변환과 관련시킨다. 또한, 장의 세기 정규화 인자 Z의 필요성을 설명하며, 스칼라장 및 디랙 장(페르미온)에 대한 축약 공식을 제공한다.
더 읽어볼만한 페이지
- 물리학 정리 - 뇌터 정리
뇌터 정리는 대칭성과 보존 법칙 사이의 관계를 설명하는 정리로, 라그랑지안의 대칭 변환 불변성에 따라 에너지, 운동량 등 보존량이 존재함을 보여주며, 고전역학, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용된다. - 물리학 정리 - 보어-판레이우언 정리
보어-판레이우언 정리는 고전 역학으로는 자기 현상을 설명할 수 없음을 밝히는 정리이며, 양자 역학의 필요성을 제시하고 보어 모형 개발에 영향을 미쳤다. - 양자장론 - 페르미-디랙 통계
페르미-디랙 통계는 파울리 배타 원리를 따르는 페르미 입자의 통계적 분포를 설명하는 양자 통계로, 금속 내 전자 현상 등을 이해하는 데 기여하며 페르미 입자가 특정 에너지 준위를 점유할 확률을 나타낸다. - 양자장론 - 양자 색역학
양자 색역학은 색 전하를 국소 대칭으로 정의한 SU(3) 게이지 군의 비아벨 게이지 이론으로, 쿼크와 글루온을 기본 입자로 하여 쿼크 사이의 강한 상호작용을 매개하며, 점근적 자유성과 색 가둠의 특징을 가지는 이론이다.
LSZ 축약 공식 | |
---|---|
LSZ 축약 공식 | |
유형 | 양자장론 |
분야 | 입자 물리학 |
목적 | 상관 함수와 S-행렬 간의 연결 |
상세 정보 | |
설명 | 양자장론에서 LSZ 축약 공식(Lehmann-Symanzik-Zimmermann reduction formula)은 상관 함수를 사용하여 S-행렬의 원소를 계산하는 이론적인 표현식이다. |
중요성 | LSZ 축약 공식은 양자장론에서 계산된 이론적 예측을 실험 결과와 관련시키는 데 사용된다. |
개발자 | 해리 레만 쿠르트 지만치크 볼프하르트 치머만 |
2. 역사
독일의 해리 레만(Harry Lehmannde)과 쿠르트 쥐만치크(Kurt Symanzik), 볼프하르트 치머만(Wolfhart Zimmermannde)이 1955년에 도입하였다.[8] 이름의 "LSZ"는 발견자의 이름의 머리글자다.
LSZ 축약 공식은 질량 ''m''을 가진 스칼라장 ''φ''에서 입자들의 산란 과정을 기술한다. 초기 운동량 을 가진 ''m''개의 입자가 산란하여 나중 운동량 을 가진 ''n''개의 입자가 튕겨 나오는 경우, 이에 해당하는 산란행렬의 원소는 다음과 같이 표현된다.[5]
3. 상세 설명
:
:
여기서 은 양변의 4차원 운동량 와 를 질량껍질로 보내는 극한을 취할 때 성립하는 관계이다. 이 극한에서 양변은 모두 발산하지만, 유수(residue)를 추출하여 비교하면 산란 행렬의 값을 얻을 수 있다. ''ε''은 윅 회전의 방향을 명확하게 하기 위한 무한소이며, ''Z''는 장세기 재규격화 인자이다.
3. 1. In/Out Field
''S''-행렬 요소는 ''in'' 상태와 ''out'' 상태 간의 전이 진폭이다.[2][3][4][5][6] ''in'' 상태 은 멀리 떨어진 과거에 상호 작용하기 전에, 확실한 운동량을 가지고 자유롭게 움직였던 입자들의 시스템의 상태를 설명하고, 반대로 ''out'' 상태 은 상호 작용 후 오랫동안, 확실한 운동량을 가지고 자유롭게 움직일 입자 시스템의 상태를 설명한다.
''In'' 상태와 ''out'' 상태는 하이젠베르크 그림의 상태이므로 특정 시간에 입자를 설명하는 것으로 생각해서는 안 되며, 대신 S-행렬 요소가 다음과 같이 전체 진화에서 입자 시스템을 설명하는 것으로 생각해야 한다.
:
는 확실한 운동량으로 준비된 입자 집합이 상호 작용하여 나중에 운동량을 가진 새로운 입자 집합으로 측정될 확률 진폭이다.
''in'' 및 ''out'' 상태를 구축하는 쉬운 방법은 적절한 생성 소멸 연산자를 제공하는 적절한 장 연산자를 찾는 것이다. 이러한 장은 각각 ''in'' 및 ''out'' 장이라고 한다.
아이디어를 고정하기 위해, 우리와 관련 없는 방식으로 상호 작용하는 클라인-고든 장을 다룬다고 가정해 보자.
:
는 자기 상호 작용 또는 유카와 상호 작용 과 같은 다른 장과의 상호 작용을 포함할 수 있다. 이 라그랑지안에서 오일러-라그랑주 방정식을 사용하면 운동 방정식은 다음과 같다.
:
여기서, 가 유도 결합을 포함하지 않으면:
:
우리는 ''in'' 장이 에서 자유 장의 점근적 거동과 유사할 것으로 예상할 수 있으며, 입자가 서로 멀리 떨어져 있기 때문에, 먼 과거에 에 의해 설명된 상호 작용이 무시할 수 있다는 가정을 한다. 이 가설은 단열 가설이라고 한다. 그러나 자기 상호 작용은 절대 사라지지 않으며, 다른 많은 효과 외에도, 라그랑지안 질량 와 보손의 물리적 질량 사이에 차이를 유발한다. 이 사실은 운동 방정식을 다음과 같이 다시 작성하여 고려해야 한다.
:
이 방정식은 클라인-고든 연산자 의 지연된 그린 함수를 사용하여 형식적으로 풀 수 있다.
:
상호 작용을 점근적 거동에서 분리할 수 있다. 해는 다음과 같다.
:
요인 는 나중에 편리하게 사용될 정규화 요인이고, 장 은 운동 방정식과 관련된 동차 방정식의 해이다.
:
따라서 자유 장이며, 입사된 비섭동파를 설명하고, 해의 마지막 항은 상호 작용으로 인한 파동의 섭동을 제공한다.
장 은 실제로 우리가 찾고 있던 ''in'' 장으로, 에서 상호 작용하는 장의 점근적 거동을 설명하지만, 이 명제는 나중에 더 정확하게 만들어질 것이다. 자유 스칼라장이므로 평면파로 확장될 수 있다.
:
여기서:
:
장의 관점에서 계수에 대한 역함수는 쉽게 얻을 수 있으며 우아한 형태로 넣을 수 있다.
:
여기서:
:
푸리에 계수는 생성 소멸 연산자의 대수를 만족한다.
:
그리고 그것들은 일반적인 방식으로 ''in'' 상태를 구축하는 데 사용할 수 있다.
:
상호 작용하는 장과 ''in'' 장 사이의 관계는 사용하기가 매우 쉽지 않고, 지연된 그린 함수의 존재는 다음과 같은 것을 쓰고 싶게 한다.
:
입자 간의 모든 상호 작용이 서로 멀리 떨어져 있을 때 무시할 수 있다는 가정을 암묵적으로 한다. 그러나 전류 는 에서 으로의 질량 변화를 생성하는 것과 같은 자기 상호 작용도 포함한다. 이러한 상호 작용은 입자가 분리되면서 사라지지 않으므로 상호 작용하는 장과 ''in'' 장 사이에 점근 관계를 설정할 때 많은 주의를 기울여야 한다.
Lehmann, Symanzik 및 Zimmermann이 개발한 올바른 처방은 두 개의 정규화 가능한 상태 및 와 클라인-고든 방정식 의 정규화 가능한 해 을 필요로 한다. 이들을 통해 올바르고 유용하지만 매우 약한 점근 관계를 설명할 수 있다.
:
두 번째 구성원은 실제로 시간과 무관하며, 이는 양쪽 모두 과 가 클라인-고든 방정식을 만족한다는 것을 기억하면서 미분하여 보여줄 수 있다.
적절한 변경으로 동일한 단계를 따라 ''out'' 상태를 구축하는 ''out'' 장을 구성할 수 있다. 특히 ''out'' 장의 정의는 다음과 같다.
:
여기서 는 클라인-고든 연산자의 고급 그린 함수이다. ''out'' 장과 상호 작용하는 장 사이의 약한 점근적 관계는 다음과 같다.
:
3. 2. 스칼라장의 축약 공식
질량 ''m''을 가진 스칼라장 ''φ''에서 ''m''개의 입자가 초기 4차원 운동량 을 가지며 산란하여 ''n''개의 입자가 튕겨나와 나중 운동량 을 가질 때, 이에 해당하는 산란행렬의 원소는 다음과 같다.
:
:
여기서 은 양변의 4차원 운동량 와 를 질량껍질로 보내는 경우에 해당하며, 양변은 모두 발산한다. 이때 유수를 추출하여 비교하면 산란 행렬의 값을 얻을 수 있다. ''ε''은 윅 회전의 방향을 명확히 하기 위한 무한소이며 ''Z''는 장세기 재규격화 인자이다.[5]
클라인-고든 스칼라에 대한 LSZ 축약 공식은 다음과 같다.
:
상관 함수의 푸리에 변환을 사용하여 작성하면 다음과 같다.
:
역변환을 사용하여 LSZ 축약 공식에 대입하면 다음 결과를 얻을 수 있다.
:
이 공식은 ''S''-행렬 요소가 4-운동량이 껍질에 놓일 때 상관 함수의 푸리에 변환에서 발생하는 극의 잔류물이라고 주장한다.
3. 3. 디랙 장 (페르미온)의 축약 공식
양자화된 자유 디랙 방정식의 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.[1]
:
여기서 메트릭 시그니처는 대부분 플러스이고, 는 운동량 와 스핀 을 가진 b형 입자에 대한 소멸 연산자이고, 는 스핀 를 가진 d형 입자에 대한 생성 연산자이다. 스피너 와 는 와 을 만족한다. 로렌츠 불변 측정은 로 쓰여지며, 이다.
개의 b형 입자가 개의 b형 입자로 산란되는 경우, ''in'' 상태는 운동량 와 스핀 을 가지고, ''out'' 상태는 운동량 와 스핀 을 가진다고 가정하면 ''in'' 상태와 ''out'' 상태는 다음과 같다.
:
이때 산란 진폭은 다음과 같이 축약될 수 있다.
:
d형 입자의 산란에 대해서도 동일한 절차를 수행할 수 있으며, 이 경우 는 로 대체되고, 와 가 교환된다.[1]
3. 4. 장의 세기 정규화 (Field Strength Normalization)
레만(Lehmann), 지만치크(Symanzik), 침머만(Zimmermann)이 개발한 처방은 두 개의 정규화 가능한 상태 및 와 클라인-고든 방정식 의 정규화 가능한 해 를 필요로 한다. 이들을 통해 올바르고 유용하지만 매우 약한 점근 관계를 설명할 수 있다.
:
두 번째 구성원은 실제로 시간과 무관하며, 이는 양쪽 모두 과 가 클라인-고든 방정식을 만족한다는 것을 기억하면서 미분하여 보여줄 수 있다.
적절한 변경으로 동일한 단계를 따라 ''out'' 상태를 구축하는 ''out'' 장을 구성할 수 있다. 특히 ''out'' 장의 정의는 다음과 같다.
:
여기서 는 클라인-고든 연산자의 고급 그린 함수이다. ''out'' 장과 상호 작용하는 장 사이의 약한 점근적 관계는 다음과 같다.
:
진공과 질량껍질 위에 있는 사중운동량 를 가진 단일 입자 상태 간의 관계를 이용하여, ''in'' 및 ''out'' 장 정의에 있는 정규화 인자 의 이유를 이해할 수 있다.
:
와 모두 다음과 같이 로렌츠 변환에 따라 변환되는 스칼라 장임을 기억하라.
:
여기서 는 사중운동량 연산자이므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.
:
사중운동량 가 질량 껍질 위에 있고 가 연산자의 그린 함수임을 기억하면서, 클라인-고든 연산자 를 양쪽에 적용하면 다음을 얻는다.
:
따라서 다음 관계에 도달한다.
:
이 관계는 인자 의 필요성을 설명한다. ''in'' 장은 자유 장이므로 진공과 한 입자 상태만 연결할 수 있다. 즉, 진공과 다중 입자 상태 사이의 기댓값은 0이다. 반면에, 상호작용 장은 상호작용 덕분에 다중 입자 상태를 진공과 연결할 수도 있으므로, 마지막 방정식의 양변의 기댓값은 다르며, 그 사이에 정규화 인자가 필요하다. 오른쪽 항은 ''in'' 장을 생성 및 소멸 연산자로 확장하여 명시적으로 계산할 수 있다.
:
과 사이의 교환 관계를 사용하여 다음을 얻는다.
:
다음 관계가 도출된다.
:
를 계산하는 방법을 알고 있다면, 이를 통해 의 값을 계산할 수 있다.
참조
[1]
논문
Zur Formulierung quantisierter Feldtheorien
Italian Physical Society
1955-01
[2]
서적
An Introduction To Quantum Field Theory
https://www.taylorfr[...]
CRC Press
2018-05-04
[3]
서적
Quantum Field Theory
https://doi.org/10.1[...]
Cambridge University Press
2007
[4]
서적
The Quantum Theory of Fields: Volume 1: Foundations
https://www.cambridg[...]
Cambridge University Press
1995
[5]
서적
Quantum Field Theory for Mathematicians
https://www.cambridg[...]
Cambridge University Press
1999
[6]
웹사이트
The S matrix and the LSZ reduction formula
https://www.uio.no/s[...]
2023
[7]
웹사이트
4. Interaction Fields
http://yoshi.sci.iba[...]
2008-08-12
[8]
저널
본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.
문의하기 : help@durumis.com